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前回の問題の解答:無理数と有理数の配列

こんばんはお久しぶりです。前回出したしょうもない問題の解答編です。

問題を改めて書いておくと

1:「いかなる二つの異なる有理数の間にも無理数は存在する」

2:「いかなる二つの異なる無理数の間にも有理数は存在する」

でした。それぞれ二つずつ解答を用意しました。

では以下、手書きの解答。その後に少しばかりの補足を

(いつも通り汚くて申し訳ないです)

 

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補足

1の別解では、集合の濃度を用いてますが、2ではそれを使うことができません。なぜならば、無理数の濃度は実数の濃度と同じだからです。(大抵の参考書に載っていると思われるので、証明は割愛)

では、どうするか。仮に間に有理数が存在しないなら間も存在しない、つまり異なる二つの無理数ではない、という証明を行いました。ミソは(p+q)/2が有理数になるってところです。

この手法は区間縮小法と呼ばれ、なかなか便利です。

 

そんなこんなで今日はここまで。