こんばんはお久しぶりです。前回出したしょうもない問題の解答編です。
問題を改めて書いておくと
でした。それぞれ二つずつ解答を用意しました。
では以下、手書きの解答。その後に少しばかりの補足を
(いつも通り汚くて申し訳ないです)
補足
1の別解では、集合の濃度を用いてますが、2ではそれを使うことができません。なぜならば、無理数の濃度は実数の濃度と同じだからです。(大抵の参考書に載っていると思われるので、証明は割愛)
では、どうするか。仮に間に有理数が存在しないなら間も存在しない、つまり異なる二つの無理数ではない、という証明を行いました。ミソは(p+q)/2が有理数になるってところです。
この手法は区間縮小法と呼ばれ、なかなか便利です。
そんなこんなで今日はここまで。