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加法定理は定量的?①

こんばんは。

最近、数学のことばかり書いているので、近いうちに他の事も書こうと思ってます。

お話に入る前に、前回の記事(http://afro1125.hatenablog.com/entry/2013/03/07/024920)について。実は元ネタがありまして、ヒルベルト著の「直観幾何学」という本から題材は頂きました。立ち読みで冒頭だけ読み、中身はまだ読んでないのですが、その冒頭部にある話を少し変えてしました。(本では双曲線の性質についての証明が省かれています)

 

今回は加法定理についてです。

この定理は四つの式に分類されます。まとめて二つにしてしまうと、

(1): cos(a±b)=cos(a)*cos(b)∓sin(a)*sin(b)

(2): sin(a±b)=sin(a)*cos(b)∓sin(b)*cos(a)

となります。(複号同順)

 

この定理は暗記している人が多いでしょう。証明できる人はあまり見かけません。

 

この定理の一般的な証明をひとまずしてみましょう。(1)からです。単位円上の二点A.Bの距離を考えます。

線分OAとx軸の成す角をa、線分OBとx軸の成す角をb(符号付きなら-b)とします。(図1)

f:id:afro1125:20130316232148p:plainf:id:afro1125:20130316232251p:plain

 

    図1:回転前        図2:回転後

次に図2の様に左回りにb分回転させます。このときAはA’に、Bはx軸上のB’に移動します。OA’とx軸の成す角はa+bとなります。

線分ABとA’B’の長さは変わらないのでこのことを利用して(1)を求めます。

 AB^2={cos(a)-cos(b)}^2+{sin(a)+sin(b)}^2 (∵sin(-b)=-sin(b))

A'B'^2={cos(a+b)-1}^2+{sin(a+b)}^2

 AB^2=A'B'^2, sin(-b)=-sin(b), cos(-b)=cos(b)から(cos(a-b)=cos{a+(-b)})

(1)は導かれる.

 問題は(2)の方なのですが、cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)の時つまりa+bの時について先に考えてみましょう。

そのあと上と同様に sin(-b)=-sin(b), cos(-b)=cos(b), sin(a-b)=sin{a+(-b)}を用いれば(2)についての証明は終わりますので。(以下、便宜上{sin(a)}^2はsin(a)^2と表記する。sin(a^2)ではない) 

三角比の定理として、

1=cos(x)^2+sin(x)^2

というものがあります。これを使って、

sin(a+b)^2=1-cos(a+b)^2

 =1-{cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)}^2

 =1-[{cos(a)*cos(b)}^2-2*cos(a)*cos(b)*sin(a)*sin(b)+{sin(a)*sin(b)}^2

 =1-[{1-sin(a)^2}*{cos(b)}^2-2*cos(a)*cos(b)*sin(a)*sin(b)+{1-cos(a)^2}*{sin(b)}^2]

 =1-[1-{sin(a)*cos(b)+sin(b)*cos(a)}^2]

 ={sin(a)*cos(b)+sin(b)*cos(a)}^2

となるのですが、このことからは

sin(a+b)=±{sin(a)*cos(b)+sin(b)*cos(a)}

であることしかいえません。符号を決めるにはどうしたらよいのでしょうか。

ここで、cos(a+b+90°)を考えます。 

cos(a+b+90°)=cos{(a+b)+90°}

 =cos(a+b)*cos90°-sin(a+b)*sin90° (∵(1)) 

 =-sin(a+b)......(3)

また、

cos(a+b+90°)=cos{a+(b+90°)}

 =cos(a)*cos(b+90°)-sin(a)*sin(b+90°)

 =cos(a)*{-sin(b)}-sin(a)*sin(b+90°)......(4)

 となります。

仮に、sin(a+b)=-{sin(a)*cos(b)+sin(b)*cos(a)}とすると

(4)は

 cos(a)*{-sin(b)}-sin(a)*{-cos(b)}=-{sin(b)*cos(a)-sin(a)*cos(b)}

となり、(3)はsin(a)*cos(b)+sin(b)*cos(b)となるので

 sin(b)*cos(a)=-sin(b)*cos(a)

つまり常にsin(b)*cos(a)=0となります。これは矛盾。

 sin(a+b)=sin(a)*cos(b)+sin(b)*cos(a)とすると、

(3)も(4)もともに、-{sin(a)*cos(b)+sin(b)*cos(a)}となります。

よって(1)が示されます。

長々と式を並べてしまったので本日はこの辺で。

続きはまた今度。なぜcos(a+b+90°)を考えたのか。その理由も書きます。

では ┐( ∵ )┌