こんばんは。
最近、数学のことばかり書いているので、近いうちに他の事も書こうと思ってます。
お話に入る前に、前回の記事(http://afro1125.hatenablog.com/entry/2013/03/07/024920)について。実は元ネタがありまして、ヒルベルト著の「直観幾何学」という本から題材は頂きました。立ち読みで冒頭だけ読み、中身はまだ読んでないのですが、その冒頭部にある話を少し変えてしました。(本では双曲線の性質についての証明が省かれています)
今回は加法定理についてです。
この定理は四つの式に分類されます。まとめて二つにしてしまうと、
(1): cos(a±b)=cos(a)*cos(b)∓sin(a)*sin(b)
(2): sin(a±b)=sin(a)*cos(b)∓sin(b)*cos(a)
となります。(複号同順)
この定理は暗記している人が多いでしょう。証明できる人はあまり見かけません。
この定理の一般的な証明をひとまずしてみましょう。(1)からです。単位円上の二点Ａ.Ｂの距離を考えます。
線分ＯＡとｘ軸の成す角をa、線分ＯＢとｘ軸の成す角をb(符号付きなら-b)とします。(図1)
図1：回転前 図2：回転後
次に図2の様に左回りにb分回転させます。このときＡはＡ’に、Ｂはｘ軸上のＢ’に移動します。ＯＡ’とｘ軸の成す角はa+bとなります。
線分ＡＢとＡ’Ｂ’の長さは変わらないのでこのことを利用して(1)を求めます。
AB^2={cos(a)-cos(b)}^2+{sin(a)+sin(b)}^2 (∵sin(-b)=-sin(b))
A'B'^2={cos(a+b)-1}^2+{sin(a+b)}^2
AB^2=A'B'^2, sin(-b)=-sin(b), cos(-b)=cos(b)から(cos(a-b)=cos{a+(-b)})
(1)は導かれる.
問題は(2)の方なのですが、cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)の時つまりa+bの時について先に考えてみましょう。
そのあと上と同様に sin(-b)=-sin(b), cos(-b)=cos(b), sin(a-b)=sin{a+(-b)}を用いれば(2)についての証明は終わりますので。(以下、便宜上{sin(a)}^2はsin(a)^2と表記する。sin(a^2)ではない)
三角比の定理として、
1=cos(x)^2+sin(x)^2
というものがあります。これを使って、
sin(a+b)^2=1-cos(a+b)^2
=1-{cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)}^2
=1-[{cos(a)*cos(b)}^2-2*cos(a)*cos(b)*sin(a)*sin(b)+{sin(a)*sin(b)}^2
=1-[{1-sin(a)^2}*{cos(b)}^2-2*cos(a)*cos(b)*sin(a)*sin(b)+{1-cos(a)^2}*{sin(b)}^2]
=1-[1-{sin(a)*cos(b)+sin(b)*cos(a)}^2]
={sin(a)*cos(b)+sin(b)*cos(a)}^2
となるのですが、このことからは
sin(a+b)=±{sin(a)*cos(b)+sin(b)*cos(a)}
であることしかいえません。符号を決めるにはどうしたらよいのでしょうか。
ここで、cos(a+b+90°)を考えます。
cos(a+b+90°)=cos{(a+b)+90°}
=cos(a+b)*cos90°-sin(a+b)*sin90° (∵(1))
=-sin(a+b)......(3)
また、
cos(a+b+90°)=cos{a+(b+90°)}
=cos(a)*cos(b+90°)-sin(a)*sin(b+90°)
=cos(a)*{-sin(b)}-sin(a)*sin(b+90°)......(4)
となります。
仮に、sin(a+b)=-{sin(a)*cos(b)+sin(b)*cos(a)}とすると
(4)は
cos(a)*{-sin(b)}-sin(a)*{-cos(b)}=-{sin(b)*cos(a)-sin(a)*cos(b)}
となり、(3)はsin(a)*cos(b)+sin(b)*cos(b)となるので
sin(b)*cos(a)=-sin(b)*cos(a)
つまり常にsin(b)*cos(a)=0となります。これは矛盾。
sin(a+b)=sin(a)*cos(b)+sin(b)*cos(a)とすると、
(3)も(4)もともに、-{sin(a)*cos(b)+sin(b)*cos(a)}となります。
よって(1)が示されます。
長々と式を並べてしまったので本日はこの辺で。
続きはまた今度。なぜcos(a+b+90°)を考えたのか。その理由も書きます。
では ┐( ∵ )┌
