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加法定理は定量的?②

お久しぶりです。

寝付けなかったので、大分前の数学のお話の続きを書きます。

前回:http://afro1125.hatenablog.com/entry/2013/03/17/002344

 

正直に話すと、何を書こうとしていたのか、忘れてしまいました。

最後に、なぜsinの加法定理導出にcos(a+b+90°)を用いたのか、と書いていたようなので、そこから取り掛かりましょう。

実をいうと、90°でなくてもよいのです。計算の便宜上、cos90°=0,sin90°=1だから。と言ってしまうと面白くないですね。

ネット検索で「加法定理 証明」で調べればいろいろなサイトが出てきます。本を探してみるのもよいでしょう。証明が載っている本ならば、どれも±90°を採用しているはずです。90°を用いたわけは視覚的に分かり易いからというのが根底にあります。

(金沢大学さんのホームページを引用させていただきます。

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sankakukansuu/henkan-tex.cgi?

target=/math/category/sankakukansuu/keisan-no-kiso.html#2)

 

ここで、出てくるのは,を加法定理としてではなく、象限の移動として、更には視覚的に所与なこととして扱っています。90°でなければこのような事は絶対に起こりません(加法定理の式を使っても事後的にわかりますが)

 

この場合、視覚的≒非定量的と捉えてもらって構いません。数式の中だけでは扱えていないのです。

式だけでやる場合には一意性について考えなければなりません。

cosαの値が分かっている場合、sinαの値は±の2種類が考えられます。つまり、角度αは一つに定まりません。その角度から、少しだけずらしてやると、正しいcos(α+b)とsin(α+b)の値が決まりますが、上で出た±sinαに関して、どちらかの値は正しいsin(α+b)とは異なる値をとることになります。よって、正しいsinαの値はは動かすことで求めることができます。(本来なら図示すべきなのですが、眠気のため省きます)

 

上に述べたずらしをやっている部分、それが+90°のところです。

でも、ずらすって結局視覚的な話ではないのか?と声が上がるかもしれません。そうです。その通りです。

タイトルに加法定理は定量的?とありますが、今の話を踏まえると答えはNoです。

なら、加法定理を式を使わずに、図形を使って証明できはしないものかと考えたくなります。

勿論できます。でも、三角形内部の角つまり180°以内の角についてのみです。(私が考えた限りではですが)

その話は図を使わないといけないので、後日に。

では。